恰好 2n-1 对 1 的对应直接转化为计数公式中的乘法，把所有奇数因子从底往上相乘就得到双阶乘。
由于每个有效的 n−1n-1n−1 个砝码顺序在遗忘映射下恰好有 2n−12n-12n−1 个原像，故对每个 n≥2n\ge2n≥2 都有 f(n)=(2n−1)f(n−1)f(n)=(2n-1)f(n-1)f(n)=(2n−1)f(n−1)，再结合 f(1)=1f(1)=1f(1)=1。展开得 f(n)=(2n−1)(2n−3)⋯3⋅1⋅f(1)f(n)=(2n-1)(2n-3)\cdots3\cdot1\cdot f(1)f(n)=(2n−1)(2n−3)⋯3⋅1⋅f(1)，于是 f(n)=1⋅3⋅5⋯(2n−1)=(2n−1)!!f(n)=1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)=(2n-1)!!f(n)=1⋅3⋅5⋯(2n−1)=(2n−1)!!：放置全部 nnn 个砝码的有效方式数就是前 nnn 个奇数之积。