第5题

设

f

是从整数集到正整数集的函数。假设对任意两个整数

m

和

n

，差

f(m)-f(n)

都能被

f(m-n)

整除。证明对所有满足

f(m)\le f(n)

的整数

m

和

n

，

f(n)

都能被

f(m)

整除。

第 1/5 步：每个值都整除 f(0)

通俗地说

把一点与其自身减去 0 相比较，说明该点处的 f 已经整除了它到 f(0) 的差，而一个数总能整除自身，所以它也整除 f(0)。

f(x)\mid f(0)

详细分析

在假设中令 $n=0$ ，得到对任意整数 $x$ 都有 $f(x)\mid f(x)-f(0)$ 。由于 $f(x)$ 总整除自身，它也整除差 $f(x)-\big(f(x)-f(0)\big)=f(0)$ ；即对任意整数 $x$ 都有 $f(x)\mid f(0)$ 。