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第5题

设 ff 是从整数集到正整数集的函数。假设对任意两个整数 mm 和 nn，差 f(m)−f(n)f(m)-f(n) 都能被 f(m−n)f(m-n) 整除。证明对所有满足 f(m)≤f(n)f(m)\le f(n) 的整数 mm 和 nn，f(n)f(n) 都能被 f(m)f(m) 整除。
第 2/5 步：f 是偶函数
上一步下一步
通俗地说

分别比较 0 与 x、x 与 0，可得 f(x)、f(-x) 中的一个整除另一个到 f(0) 的差；结合上一步，两者最终互相整除。

f(x)=f(−x)f(x)=f(-x)
详细分析

令 m=0,n=−xm=0,n=-x 得到 f(x)∣f(0)−f(−x)f(x)\mid f(0)-f(-x)，结合 f(x)∣f(0)f(x)\mid f(0) 可得 f(x)∣f(−x)f(x)\mid f(-x)。令 m=0,n=xm=0,n=x 得到 f(−x)∣f(0)−f(x)f(-x)\mid f(0)-f(x)，结合 f(−x)∣f(0)f(-x)\mid f(0) 可得 f(−x)∣f(x)f(-x)\mid f(x)。两个互相整除的正整数必相等，故对任意整数 xx 都有 f(x)=f(−x)f(x)=f(-x)。