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第5题

设 ff 是从整数集到正整数集的函数。假设对任意两个整数 mm 和 nn,差 f(m)−f(n)f(m)-f(n) 都能被 f(m−n)f(m-n) 整除。证明对所有满足 f(m)≤f(n)f(m)\le f(n) 的整数 mm 和 nn,f(n)f(n) 都能被 f(m)f(m) 整除。
第 3/5 步:三个互相约束彼此差值的值
通俗地说

把三对 (x,y)、(x,x-y)、(y,y-x) 代入假设,并利用 f 忽略符号这一事实,可得 f(x)、f(y)、f(x-y) 各自整除另外两者之差。

f(x−y)∣f(x)−f(y),  f(y)∣f(x)−f(x−y),  f(x)∣f(y)−f(x−y)f(x-y)\mid f(x)-f(y),\ \ f(y)\mid f(x)-f(x-y),\ \ f(x)\mid f(y)-f(x-y)
详细分析

对任意整数 x,yx,y:在假设中取 m=x,n=ym=x,n=y 直接得到 f(x−y)∣f(x)−f(y)f(x-y)\mid f(x)-f(y)。取 m=x,n=x−ym=x,n=x-y 得到 f(y)∣f(x)−f(x−y)f(y)\mid f(x)-f(x-y)。取 m=y,n=y−xm=y,n=y-x 得到 f(x)∣f(y)−f(y−x)f(x)\mid f(y)-f(y-x),而由上一步 f(y−x)=f(x−y)f(y-x)=f(x-y),这就是 f(x)∣f(y)−f(x−y)f(x)\mid f(y)-f(x-y)。综合起来,f(x−y)∣f(x)−f(y),  f(y)∣f(x)−f(x−y),  f(x)∣f(y)−f(x−y)f(x-y)\mid f(x)-f(y),\ \ f(y)\mid f(x)-f(x-y),\ \ f(x)\mid f(y)-f(x-y)。