设 f(m)≤f(n)。取 x=n,y=m，把第三步应用到三元组 a′=f(n),b′=f(m),c′=f(n−m)，它满足第三步的三个关系，因此（按大小重新排序后）满足第四步的引理。由于 f(m)≤f(n)，f(m) 永远不会是三者中最大的，故它总是引理判定为相等的两个值之一；引理接着说这个公共值整除最大值。若 f(n) 最大，引理直接给出 f(m)∣f(n)。若 f(n−m) 最大，引理迫使 f(m) 等于 f(n),f(n−m) 中不是最大的那个，而此时 f(m)≤f(n)≤f(n−m)，于是迫使 f(m)=f(n)，同样得到 f(m)∣f(n)。无论哪种情形，都有 f(m)∣f(n)。