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第6题

设 ABCABC 是外接圆为 Γ\Gamma 的锐角三角形。设 ℓ\ell 是 Γ\Gamma 的一条切线，ℓa\ell_a、ℓb\ell_b、ℓc\ell_c 分别是把 ℓ\ell 关于直线 BCBC、CACA、ABAB 作反射得到的直线。证明由直线 ℓa,ℓb,ℓc\ell_a,\ell_b,\ell_c 所确定的三角形的外接圆与圆 Γ\Gamma 相切。
第 1/6 步：把图形转化为复数
上一步下一步
通俗地说

把外接圆取作单位圆后，每个顶点都变成模为1的复数，而该圆上任意一点处的切线都有现成的公式。

z+t2zˉ=2tz+t^2\bar z=2t
详细分析

把 Γ\Gamma 取作复平面上的单位圆，设 a,b,c,ta,b,c,t 是分别代表 A,B,CA,B,C 以及 ℓ\ell 的切点 TT 的模为1的复数。关于单位圆的一个标准事实是：单位圆上一点 tt 处的切线方程为 z+t2zˉ=2tz+t^2\bar z=2t：事实上 z=tz=t 满足它（因为 t+t2⋅(1/t)=2tt+t^2\cdot(1/t)=2t），而系数 t2t^2 的模为1也保证这确实是一条直线而不是单个点。