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第6题

设 ABCABC 是外接圆为 Γ\Gamma 的锐角三角形。设 ℓ\ell 是 Γ\Gamma 的一条切线，ℓa\ell_a、ℓb\ell_b、ℓc\ell_c 分别是把 ℓ\ell 关于直线 BCBC、CACA、ABAB 作反射得到的直线。证明由直线 ℓa,ℓb,ℓc\ell_a,\ell_b,\ell_c 所确定的三角形的外接圆与圆 Γ\Gamma 相切。
第 2/6 步：把切线关于三边反射
上一步下一步
通俗地说

把切线上两个方便的点关于某条边反射（利用单位圆弦的标准镜面公式），再连接它们的像所在的直线，就能得到每条反射直线的简洁闭式方程。

t2z+(bc)2zˉ=(b+c)(t2+bc)−2t bct^2z+(bc)^2\bar z=(b+c)(t^2+bc)-2t\,bc
详细分析

关于过单位点 p,qp,q 的弦作反射，会把点 zz 送到 p+q−pqzˉp+q-pq\bar z。把这个反射应用到 ℓ\ell 上两个方便的点（切点 tt 本身，以及 ℓ\ell 上另一点），关于边 BCBC（过 b,cb,c）反射，再作过它们像的复数直线方程，化简后得到反射直线 ℓa: t2z+(bc)2zˉ=(b+c)(t2+bc)−2t bc\ell_a:\ t^2z+(bc)^2\bar z=(b+c)(t^2+bc)-2t\,bc。对 CACA、ABAB 作同样的计算，得到 ℓb: t2z+(ca)2zˉ=(c+a)(t2+ca)−2t ca\ell_b:\ t^2z+(ca)^2\bar z=(c+a)(t^2+ca)-2t\,ca 与 ℓc: t2z+(ab)2zˉ=(a+b)(t2+ab)−2t ab\ell_c:\ t^2z+(ab)^2\bar z=(a+b)(t^2+ab)-2t\,ab。