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第6题

设 ABCABC 是外接圆为 Γ\Gamma 的锐角三角形。设 ℓ\ell 是 Γ\Gamma 的一条切线，ℓa\ell_a、ℓb\ell_b、ℓc\ell_c 分别是把 ℓ\ell 关于直线 BCBC、CACA、ABAB 作反射得到的直线。证明由直线 ℓa,ℓb,ℓc\ell_a,\ell_b,\ell_c 所确定的三角形的外接圆与圆 Γ\Gamma 相切。
第 3/6 步：解出新三角形的顶点
上一步下一步
通俗地说

每个顶点都是两条反射直线的交点；联立求解相应的关于 z 与 z 的共轭的两个线性方程，并把 a、b、c 的对称组合缩写一下，就得到一个出奇简洁的公式。

A′=P(a−2t)+St2t2(b+c)A'=\dfrac{P(a-2t)+St^2}{t^2(b+c)}
详细分析

设 S=ab+bc+caS=ab+bc+ca、P=abcP=abc 为初等对称组合。解线性方程组 ℓb∩ℓc\ell_b\cap\ell_c 求 zz（把 zz 与 zˉ\bar z 视为两个线性方程的两个未知数）并化简，得到 A′=ℓb∩ℓc=A'=\ell_b\cap\ell_c=P(a−2t)+St2t2(b+c)\dfrac{P(a-2t)+St^2}{t^2(b+c)}。作循环替换 a→b→c→aa\to b\to c\to a，即得 B′=ℓc∩ℓaB'=\ell_c\cap\ell_a 与 C′=ℓa∩ℓbC'=\ell_a\cap\ell_b 的类似公式。