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第6题

设 ABCABC 是外接圆为 Γ\Gamma 的锐角三角形。设 ℓ\ell 是 Γ\Gamma 的一条切线，ℓa\ell_a、ℓb\ell_b、ℓc\ell_c 分别是把 ℓ\ell 关于直线 BCBC、CACA、ABAB 作反射得到的直线。证明由直线 ℓa,ℓb,ℓc\ell_a,\ell_b,\ell_c 所确定的三角形的外接圆与圆 Γ\Gamma 相切。
第 4/6 步：求新三角形的外接圆
上一步下一步
通俗地说

把一般圆方程拟合到三个顶点又变成另一个线性求解，用对称缩写整理各项后，两个定义常数都化简成简短的公式。

U=−(tS−P)2t2Q,1+V=2(tS−P)(E−t)tQU=-\dfrac{(tS-P)^2}{t^2Q},\quad 1+V=\dfrac{2(tS-P)(E-t)}{tQ}
详细分析

设 E=a+b+cE=a+b+c、Q=(a+b)(b+c)(c+a)Q=(a+b)(b+c)(c+a)（注意 Q=ES−PQ=ES-P）。任意圆都可写成 zzˉ+Uˉz+Uzˉ+V=0z\bar z+\bar Uz+U\bar z+V=0 的形式，其中 UU 是复数（圆心为 −U-U），VV 是实数。代入上一步的三点 A′,B′,C′A',B',C'，解出关于 U,Uˉ,VU,\bar U,V 的线性方程组并化简，得到 U=−(tS−P)2t2Q,1+V=2(tS−P)(E−t)tQU=-\dfrac{(tS-P)^2}{t^2Q},\quad 1+V=\dfrac{2(tS-P)(E-t)}{tQ}。