MathLabs

第6题

设 ABCABC 是外接圆为 Γ\Gamma 的锐角三角形。设 ℓ\ell 是 Γ\Gamma 的一条切线，ℓa\ell_a、ℓb\ell_b、ℓc\ell_c 分别是把 ℓ\ell 关于直线 BCBC、CACA、ABAB 作反射得到的直线。证明由直线 ℓa,ℓb,ℓc\ell_a,\ell_b,\ell_c 所确定的三角形的外接圆与圆 Γ\Gamma 相切。
第 5/6 步：利用 a、b、c、t 都在单位圆上取共轭
上一步下一步
通俗地说

由于 a、b、c、t 的模都是1，它们的共轭就是各自的倒数，因此对 U 的简洁公式取共轭只需代入倒数并通分。

Uˉ=−(E−t)2Q\bar U=-\dfrac{(E-t)^2}{Q}
详细分析

由于 ∣a∣=∣b∣=∣c∣=∣t∣=1|a|=|b|=|c|=|t|=1，每个变量的共轭就是其倒数（aˉ=1/a\bar a=1/a 等）。把倒数代入 U=−(tS−P)2t2QU=-\dfrac{(tS-P)^2}{t^2Q} 并通分（利用 tS−P‾=(E−t)/(tP)\overline{tS-P}=(E-t)/(tP) 与 t2Q‾=Q/(t2P2)\overline{t^2Q}=Q/(t^2P^2)），化简后得到 Uˉ=−(E−t)2Q\bar U=-\dfrac{(E-t)^2}{Q}。