把单位圆的方程代入新圆的方程，会化简为一条实数直线，而这条直线恰好在一点与单位圆相切，当且仅当一个简短的代数恒等式成立——U 及其共轭的简洁公式立刻就证实了这一点。
把 zzˉ=1z\bar z=1zzˉ=1（即 Γ\GammaΓ 的方程）代入 zzˉ+Uˉz+Uzˉ+V=0z\bar z+\bar Uz+U\bar z+V=0zzˉ+Uˉz+Uzˉ+V=0，得到根轴 Uˉz+Uzˉ=−(1+V)\bar Uz+U\bar z=-(1+V)Uˉz+Uzˉ=−(1+V)；这种形式的实直线与单位圆相切当且仅当 (1+V)2=4UUˉ(1+V)^2=4U\bar U(1+V)2=4UUˉ，而这正是两圆恰好交于一点、即相切的条件。把第四步与第五步得到的两个公式相乘，4UUˉ=4⋅(tS−P)2t2Q2⋅(E−t)2=(2(tS−P)(E−t)tQ)2=(1+V)24U\bar U=4\cdot\dfrac{(tS-P)^2}{t^2Q^2}\cdot(E-t)^2=\left(\dfrac{2(tS-P)(E-t)}{tQ}\right)^2=(1+V)^24UUˉ=4⋅t2Q2(tS−P)2⋅(E−t)2=(tQ2(tS−P)(E−t))2=(1+V)2，恰好与第四步得到的 1+V1+V1+V 之值相符。因此 (1+V)2=4UUˉ(1+V)^2=4U\bar U(1+V)2=4UUˉ 恒成立，A′B′C′A'B'C'A′B′C′ 的外接圆与 Γ\GammaΓ 相切，正是所要证明的。