国际数学奥林匹克 · 2012年

试题

第1题设 $ABC$ 为三角形， $J$ 为对着顶点 $A$ 的旁心。旁切圆与边 $BC$ 在 $M$ 处相切，并分别与直线 $AB$ , $AC$ 在 $K$ , $L$ 处相切。直线 $LM$ 与 $BJ$ 交于 $F$ ，直线 $KM$ 与 $CJ$ 交于 $G$ 。设 $S$ 为直线 $AF$ 与 $BC$ 的交点、 $T$ 为直线 $AG$ 与 $BC$ 的交点。证明 $M$ 是 $ST$ 的中点。解法: 1
第2题设 $n\ge3$ 为整数，正实数 $a_2,a_3,\dots,a_n$ 满足 $a_2a_3\cdots a_n=1$ 。证明 $(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n>n^n$ 。解法: 1
第3题在说谎猜数游戏中，A 选择满足 $1\le x\le N$ 的整数 $x$ 并告诉 B 整数 $N$ 。B 可询问任意正整数集合 $D$ ，问题是“ $x$ 是否属于 $D$ ？”。A 每次可以如实或说谎回答，但任意连续 $k+1$ 个回答中至少有一个必须真实。经过有限次询问后，B 指定一个至多含 $n$ 个正整数的集合 $X$ ；若 $x\in X$ 则 B 获胜。证明：(a) 若 $n\ge2^k$ ，B 可以保证获胜；(b) 对充分大的每个 $k$ ，存在 $n\ge1.99^k$ 使任何策略都不能保证获胜。解法: 1
第4题求所有函数 $f:\mathbb Z\to\mathbb Z$ ，使得任意满足 $a+b+c=0$ 的整数 $a,b,c$ 都有 $f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)$ 。解法: 1
第5题设三角形 $ABC$ 满足 $\angle BCA=90^\circ$ ，D 为从 C 作高的垂足。取 X 在 CD 内部，K 在 AX 上且 $BK=BC$ ，L 在 BX 上且 $AL=AC$ ，令 $M=AL\cap BK$ 。证明 $MK=ML$ 。解法: 1
第6题求所有正整数 $n$ ，使得存在非负整数 $a_1,\dots,a_n$ 满足 $\sum_{i=1}^n2^{-a_i}=\sum_{i=1}^n i3^{-a_i}=1$ 。解法: 1