第1题

设

a_0<a_1<a_2<\cdots

是一个正整数的无穷数列。证明:存在唯一的整数

n\ge1

,使得

a_n<\frac{a_0+a_1+\cdots+a_n}{n}\le a_{n+1}.

第 1/5 步：引入差值 d_n

通俗地说

把待证不等式乘以 $n$ ,就化为关于整数的命题,比直接处理分数更易掌控。

d_n := (a_0+a_1+\cdots+a_n) - n a_n

详细分析

对 $n\ge1$ ,定义 $d_n=(a_0+a_1+\cdots+a_n)-na_n$ ,由于所有 $a_i$ 均为整数,此值也是整数。不等式 $a_n<\frac{a_0+\cdots+a_n}{n}$ 等价于 $na_n<a_0+\cdots+a_n$ ,即 $d_n>0$ 。