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第1题

设 a0<a1<a2<⋯a_0<a_1<a_2<\cdots 是一个正整数的无穷数列。证明:存在唯一的整数 n≥1n\ge1,使得 an<a0+a1+⋯+ann≤an+1.a_n<\frac{a_0+a_1+\cdots+a_n}{n}\le a_{n+1}.
第 4/5 步：数列 d_n 严格递减
上一步下一步
dn+1−dn=n(an−an+1)<0d_{n+1} - d_n = n(a_n - a_{n+1}) < 0
详细分析

计算 dn+1−dn=[(a0+⋯+an+1)−(n+1)an+1]−[(a0+⋯+an)−nan]=n(an−an+1)d_{n+1}-d_n=\big[(a_0+\cdots+a_{n+1})-(n+1)a_{n+1}\big]-\big[(a_0+\cdots+a_n)-na_n\big]=n(a_n-a_{n+1}),由于 n≥1n\ge1 且 an<an+1a_n<a_{n+1},此值为负。所以 d1>d2>d3>⋯d_1>d_2>d_3>\cdots 是严格递减的整数列。