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第1题

设 a0<a1<a2<⋯a_0<a_1<a_2<\cdots 是一个正整数的无穷数列。证明:存在唯一的整数 n≥1n\ge1,使得 an<a0+a1+⋯+ann≤an+1.a_n<\frac{a_0+a_1+\cdots+a_n}{n}\le a_{n+1}.
第 5/5 步：结论:符号恰好改变一次
上一步下一步
∃! n≥1:dn>0≥dn+1\exists! \, n\ge1 : d_n > 0 \ge d_{n+1}
详细分析

从正值 d1>0d_1>0 出发的严格递减整数列最终必变为非正,并且由于严格递减,它只能在唯一一个下标处从正变为非正。这个唯一下标正是最后一个满足 dn>0d_n>0 的下标,因此恰好存在一个 n≥1n\ge1 使 dn>0≥dn+1d_n>0\ge d_{n+1},从而证明了所求 nn 的存在性与唯一性。