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第3题

凸四边形 ABCDABCD 满足 ∠ABC=∠CDA=90∘\angle ABC=\angle CDA=90^\circ。点 HH 是从 AA 到 BDBD 所引垂线的垂足。点 SS、TT 分别在边 ABAB、ADAD 上,使得 HH 在三角形 SCTSCT 内部,且 ∠CHS−∠CSB=90∘\angle CHS-\angle CSB=90^\circ,∠THC−∠DTC=90∘\angle THC-\angle DTC=90^\circ。证明直线 BDBD 与三角形 TSHTSH 的外接圆相切。
第 1/6 步：把 SHC 的外心 K 定位在直线 AB 上
上一步下一步
∠SQC=90∘−∠BSC=180∘−∠SHC  ⟹  C,H,S,Q concyclic\angle SQC = 90^\circ - \angle BSC = 180^\circ - \angle SHC \implies C,H,S,Q \text{ concyclic}
详细分析

设过 CC 且垂直于 SCSC 的直线交直线 ABAB 于 QQ。由 ∠CHS−∠CSB=90∘\angle CHS-\angle CSB=90^\circ 可得 ∠SQC=90∘−∠BSC=180∘−∠SHC\angle SQC=90^\circ-\angle BSC=180^\circ-\angle SHC,故 C,H,S,QC,H,S,Q 四点共圆且以 SQSQ 为直径;因此三角形 SHCSHC 的外心 KK(即该直径的中点)落在直线 ABAB 上。