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第3题

凸四边形 ABCDABCD 满足 ∠ABC=∠CDA=90∘\angle ABC=\angle CDA=90^\circ。点 HH 是从 AA 到 BDBD 所引垂线的垂足。点 SS、TT 分别在边 ABAB、ADAD 上,使得 HH 在三角形 SCTSCT 内部,且 ∠CHS−∠CSB=90∘\angle CHS-\angle CSB=90^\circ,∠THC−∠DTC=90∘\angle THC-\angle DTC=90^\circ。证明直线 BDBD 与三角形 TSHTSH 的外接圆相切。
第 3/6 步：把相切条件归结为两条角平分线相交的条件
上一步下一步
BD tangent to ⊙(SHT)  ⟺  bisectors of ∠AKH,∠ALH meet on AHBD \text{ tangent to } \odot(SHT) \iff \text{bisectors of } \angle AKH, \angle ALH \text{ meet on } AH
详细分析

由于 KH=KSKH=KS 且 LH=LTLH=LT(均为外接圆半径),HH 与 SS 关于 HSHS 的垂直平分线对称,而该垂直平分线正是等腰三角形 KHSKHS 中角 ∠AKH\angle AKH 的平分线;对 H,TH,T 与角 ∠ALH\angle ALH 同理。直线 BDBD 在 HH 处与 SHTSHT 的外接圆相切,当且仅当它是直线 AHAH 的适当反射像,借助 HSHS、HTHT 垂直平分线作为角平分线的这一刻画,这归结为证明这两条角平分线交于直线 AHAH 上,再由角平分线长度定理,这等价于 AKKH=ALLH\dfrac{AK}{KH}=\dfrac{AL}{LH}。