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第3题

凸四边形 ABCDABCD 满足 ∠ABC=∠CDA=90∘\angle ABC=\angle CDA=90^\circ。点 HH 是从 AA 到 BDBD 所引垂线的垂足。点 SS、TT 分别在边 ABAB、ADAD 上,使得 HH 在三角形 SCTSCT 内部,且 ∠CHS−∠CSB=90∘\angle CHS-\angle CSB=90^\circ,∠THC−∠DTC=90∘\angle THC-\angle DTC=90^\circ。证明直线 BDBD 与三角形 TSHTSH 的外接圆相切。
第 4/6 步：中点 M 与 ABCD 的外心 O
上一步下一步
M:=KL∩HC  ⟹  M midpoint of HC,OM∥AH⊥BDM := KL \cap HC \implies M \text{ midpoint of } HC, \quad OM \parallel AH \perp BD
详细分析

设 M=KL∩HCM=KL\cap HC。由 KH=KCKH=KC 及 LH=LCLH=LC 知 HH 与 CC 关于直线 KLKL 对称,故 MM 是 HCHC 的中点。由 ∠ABC=∠ADC=90∘\angle ABC=\angle ADC=90^\circ 知四边形 ABCDABCD 内接于圆,外心 OO 为 ACAC 的中点;于是 OM∥AHOM\parallel AH(三角形 AHCAHC 的中位线),从而 OM⊥BDOM\perp BD,又因 OB=ODOB=OD,直线 OMOM 是 BDBD 的垂直平分线,故 BM=DMBM=DM。