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第3题

凸四边形 ABCDABCD 满足 ∠ABC=∠CDA=90∘\angle ABC=\angle CDA=90^\circ。点 HH 是从 AA 到 BDBD 所引垂线的垂足。点 SS、TT 分别在边 ABAB、ADAD 上,使得 HH 在三角形 SCTSCT 内部,且 ∠CHS−∠CSB=90∘\angle CHS-\angle CSB=90^\circ,∠THC−∠DTC=90∘\angle THC-\angle DTC=90^\circ。证明直线 BDBD 与三角形 TSHTSH 的外接圆相切。
第 5/6 步：过 M 的两个圆给出正弦定理比例
上一步下一步
AKAL=sin⁡∠ALKsin⁡∠AKL=DMCL⋅CKBM=CKCL=KHLH\frac{AK}{AL}=\frac{\sin\angle ALK}{\sin\angle AKL}=\frac{DM}{CL}\cdot\frac{CK}{BM}=\frac{CK}{CL}=\frac{KH}{LH}
详细分析

由 CM⊥KLCM\perp KL 知 B,C,M,KB,C,M,K 共圆且以 KCKC 为直径,同理 L,C,M,DL,C,M,D 共圆且以 LCLC 为直径。在三角形 AKLAKL 及这两个圆中应用正弦定理(利用上一步的 BM=DMBM=DM),得 AKAL=sin⁡∠ALKsin⁡∠AKL=DMCL⋅CKBM=CKCL=KHLH\dfrac{AK}{AL}=\dfrac{\sin\angle ALK}{\sin\angle AKL}=\dfrac{DM}{CL}\cdot\dfrac{CK}{BM}=\dfrac{CK}{CL}=\dfrac{KH}{LH},整理后恰为 AKKH=ALLH\dfrac{AK}{KH}=\dfrac{AL}{LH}。