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第3题

凸四边形 ABCDABCD 满足 ∠ABC=∠CDA=90∘\angle ABC=\angle CDA=90^\circ。点 HH 是从 AA 到 BDBD 所引垂线的垂足。点 SS、TT 分别在边 ABAB、ADAD 上,使得 HH 在三角形 SCTSCT 内部,且 ∠CHS−∠CSB=90∘\angle CHS-\angle CSB=90^\circ,∠THC−∠DTC=90∘\angle THC-\angle DTC=90^\circ。证明直线 BDBD 与三角形 TSHTSH 的外接圆相切。
第 6/6 步：结论:在 H 处相切
上一步下一步
AKKH=ALLH  ⟹  BD tangent to ⊙(SHT) at H\frac{AK}{KH}=\frac{AL}{LH} \implies BD \text{ tangent to } \odot(SHT) \text{ at } H
详细分析

前面证明的比例 AKKH=ALLH\dfrac{AK}{KH}=\dfrac{AL}{LH},按角平分线长度定理,正是使 ∠AKH\angle AKH 与 ∠ALH\angle ALH 的平分线交于线段 AHAH 上的条件,而这等价于前面所归结的:直线 BDBD(在 HH 处垂直于 AHAH)在 HH 处与三角形 SHTSHT 的外接圆相切。至此证明完成。