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第4题

在锐角三角形 ABCABC 的边 BCBC 上取点 PP、QQ,使得 ∠PAB=∠BCA\angle PAB=\angle BCA 且 ∠CAQ=∠ABC\angle CAQ=\angle ABC。点 MM、NN 分别在直线 APAP、AQAQ 上,使得 PP 是 AMAM 的中点,QQ 是 ANAN 的中点。证明直线 BMBM 与 CNCN 的交点落在三角形 ABCABC 的外接圆上。
第 2/5 步：延伸到 M、N 后相似性依然保持
上一步下一步
BPPM=BPPA=AQQC=NQQC,∠BPM=β+γ=∠CQN\frac{BP}{PM}=\frac{BP}{PA}=\frac{AQ}{QC}=\frac{NQ}{QC}, \quad \angle BPM = \beta+\gamma = \angle CQN
详细分析

由于 PP 是 AMAM 的中点,有 PM=PAPM=PA,故上一步的比例变为 BPPM=AQQC=NQQC\dfrac{BP}{PM}=\dfrac{AQ}{QC}=\dfrac{NQ}{QC}(用到 NQ=QANQ=QA)。又 ∠BPM=180∘−∠APB=β+γ\angle BPM=180^\circ-\angle APB=\beta+\gamma(△ABP\triangle ABP 的外角),同理 ∠CQN=β+γ\angle CQN=\beta+\gamma。故由边角边相似得 △BPM∼△NQC\triangle BPM\sim\triangle NQC。