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第4题

在锐角三角形 ABCABC 的边 BCBC 上取点 PP、QQ,使得 ∠PAB=∠BCA\angle PAB=\angle BCA 且 ∠CAQ=∠ABC\angle CAQ=\angle ABC。点 MM、NN 分别在直线 APAP、AQAQ 上,使得 PP 是 AMAM 的中点,QQ 是 ANAN 的中点。证明直线 BMBM 与 CNCN 的交点落在三角形 ABCABC 的外接圆上。
第 4/5 步：以交点 S 为中心的第二个相似
上一步下一步
S:=BM∩CN  ⟹  △BPM∼△BSCS := BM \cap CN \implies \triangle BPM \sim \triangle BSC
详细分析

设 SS 为直线 BMBM 与 CNCN 的交点。由于 ∠BMP=∠BMS\angle BMP=\angle BMS 等于 ∠SCB\angle SCB(利用 SS 在直线 CNCN 上重写 ∠NCB\angle NCB),而 ∠MBP=∠SBC\angle MBP=\angle SBC 显然成立(同一直线 BMBM),三角形 BPMBPM 与 BCSBCS 有两个相等的角,故 △BPM∼△BSC\triangle BPM\sim\triangle BSC。