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第4题

在锐角三角形 ABCABC 的边 BCBC 上取点 PP、QQ,使得 ∠PAB=∠BCA\angle PAB=\angle BCA 且 ∠CAQ=∠ABC\angle CAQ=\angle ABC。点 MM、NN 分别在直线 APAP、AQAQ 上,使得 PP 是 AMAM 的中点,QQ 是 ANAN 的中点。证明直线 BMBM 与 CNCN 的交点落在三角形 ABCABC 的外接圆上。
第 5/5 步：结论:S 处看 BC 的角是 A 角的补角
上一步下一步
∠CSB=∠BPM=β+γ=180∘−∠BAC\angle CSB = \angle BPM = \beta+\gamma = 180^\circ - \angle BAC
详细分析

由 △BPM∼△BSC\triangle BPM\sim\triangle BSC,对应角给出 ∠CSB=∠BPM\angle CSB=\angle BPM;结合前面得到的 ∠BPM=β+γ=180∘−∠BAC\angle BPM=\beta+\gamma=180^\circ-\angle BAC(由 △ABC\triangle ABC 内角和,β+γ\beta+\gamma 是 ∠BAC\angle BAC 的补角),得 ∠CSB=180∘−∠BAC\angle CSB=180^\circ-\angle BAC。这恰好是 SS 落在三角形 ABCABC 外接圆中不含 AA 的弧 BCBC 上的条件,证明完成。