设该过程最终得到 kkk 条蓝色直线。每条非蓝色直线都必须至少含一个红点(否则过程不会停止),而每个红点恰好位于一条蓝色直线和一条非蓝色直线上(它是沿着当时尚未变蓝的直线、作为某个蓝蓝交点的相邻点而产生的)。由于染第 ttt 条蓝色直线时至多产生 t−1t-1t−1 个新的蓝色交点,每个至多贡献 222 个红点,故红点总数至多为 2(k2)=k(k−1)2\binom{k}{2}=k(k-1)2(2k)=k(k−1)。由于 n−kn-kn−k 条非蓝色直线中每条都需要至少一个红点,得 n−k≤k(k−1)n-k\le k(k-1)n−k≤k(k−1),即 n≤k2n\le k^2n≤k2,故 k≥nk\ge\sqrt nk≥n。