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第1题

在凸五边形 ABCDEABCDE 中，∠B>90∘\angle B>90^\circ，设 FF 为线段 ACAC 上一点，满足 ∠FBC=90∘\angle FBC=90^\circ。已知 FA=FBFA=FB，DA=DCDA=DC，EA=EDEA=ED，且射线 ACAC 与 ADAD 将角 ∠BAE\angle BAE 三等分。设 MM 为 CFCF 的中点，XX 为使得 AMXEAMXE 是平行四边形的点。证明直线 FXFX、EMEM、BDBD 共点。
第 2/7 步：平行线与内接四边形 BCDFBCDF
上一步下一步
通俗地说

一条角平分线、一个直角、以及一对相似的等腰三角形，正是内心与旁心配对的经典特征。

F=incenter⁡(△DAB),C=A-excenter(△DAB),DA=DBF=\operatorname{incenter}(\triangle DAB),\quad C=A\text{-excenter}(\triangle DAB),\quad DA=DB
详细分析

六个角都等于 α\alpha，所以 ∠DAC=∠DCA\angle DAC=\angle DCA，从而 AB∥CDAB\parallel CD。令 G=AB∩CDG=AB\cap CD。于是 ∠FDC=∠FGA=90∘\angle FDC=\angle FGA=90^\circ，且 ∠FBC=90∘\angle FBC=90^\circ，故 B,C,D,FB,C,D,F 共圆。