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第1题

在凸五边形 ABCDEABCDE 中，∠B>90∘\angle B>90^\circ，设 FF 为线段 ACAC 上一点，满足 ∠FBC=90∘\angle FBC=90^\circ。已知 FA=FBFA=FB，DA=DCDA=DC，EA=EDEA=ED，且射线 ACAC 与 ADAD 将角 ∠BAE\angle BAE 三等分。设 MM 为 CFCF 的中点，XX 为使得 AMXEAMXE 是平行四边形的点。证明直线 FXFX、EMEM、BDBD 共点。
第 4/7 步：平行四边形使 XX 落在一个圆上
上一步下一步
通俗地说

在 DD 与 BB 处相等的角 α\alpha 使 EE 对称地位于经过 A,B,M,DA,B,M,D 的圆上。

MX=EA=MF,B,C,D,F,X concyclicMX=EA=MF,\quad B,C,D,F,X\text{ concyclic}
详细分析

由平行四边形得 MX=EA=MFMX=EA=MF。因 MM 是 CFCF 的中点，有 MC=MF=DEMC=MF=DE；又 DE∥MCDE\parallel MC。所以 MCDEMCDE 是平行四边形，且 B,C,D,F,XB,C,D,F,X 共圆（等价地，MX=MFMX=MF 给出的等弦关系确定了同一个内接四边形）。