MathLabs

第1题

在凸五边形 ABCDEABCDE 中，∠B>90∘\angle B>90^\circ，设 FF 为线段 ACAC 上一点，满足 ∠FBC=90∘\angle FBC=90^\circ。已知 FA=FBFA=FB，DA=DCDA=DC，EA=EDEA=ED，且射线 ACAC 与 ADAD 将角 ∠BAE\angle BAE 三等分。设 MM 为 CFCF 的中点，XX 为使得 AMXEAMXE 是平行四边形的点。证明直线 FXFX、EMEM、BDBD 共点。
第 7/7 步：根轴定理完成证明
上一步下一步
通俗地说

若三个圆两两的根轴分别是直线 BDBD、FXFX、EMEM，则这三条直线必然共点。

radical axes of (AEDMB), (BFDXC), (EXMF) concur\text{radical axes of } (AEDMB),\,(BFDXC),\,(EXMF)\ \text{concur}
详细分析

考虑三个圆：(AEDMB)(AEDMB)（经过 A,E,D,M,BA,E,D,M,B，前面各步已证明它们共圆）、(BFDXC)(BFDXC)（经过 B,F,D,X,CB,F,D,X,C，即第3步中的圆 (BFDC)(BFDC) 加上第4步中的 XX）、以及 (EXMF)(EXMF)（第5步中的等腰梯形）。直线 BDBD 是前两个圆的根轴（它们的公共弦），直线 FXFX 是第二个与第三个圆的根轴（公共弦 FXFX，即公共点所在直线），直线 EMEM 是第一个与第三个圆的根轴。由根轴定理，由于这三个圆两两不同心，它们两两的根轴 BDBD、FXFX、EMEM 要么全部平行，要么共点；在此结构中它们并不平行，因此必然共点，这正是所要证明的结论。