第2题

求所有整数

n

，使得

n\times n

表格的每个格子可以填入字母

I

、

M

、

O

之一，满足：在每一行和每一列中，恰好三分之一的格子是

I

，三分之一是

M

，三分之一是

O

；并且在任意一条对角线上，如果该对角线上的格子数是三的倍数，那么该对角线上也恰好三分之一是

I

，三分之一是

M

，三分之一是

O

。（注意

n\times n

表格两个方向共有

4n-2

条对角线。）

第 2/5 步：必要性：标出“好格子”

通俗地说

行、列条件迫使 $3\mid n$ 。两个坐标都模 $3$ 同余于 $2$ 的格子是可以从两个方向计数的中心。

n=3k,\quad G=\{(3r+2,3s+2):0\le r,s<k\}

详细分析

每行都含有三分之一的每个字母，所以 $3\mid n$ ，记 $n=3k$ 。称格子 $(3r+2,3s+2)$ 为好格子，记其中填有 $I$ 的好格子数为 $a$ 。每个好格子各位于两个方向的一条对角线上，而这两条对角线长度都是 $3$ 的倍数。