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第2题

求所有整数 nn，使得 n×nn\times n 表格的每个格子可以填入字母 II、MM、OO 之一，满足：在每一行和每一列中，恰好三分之一的格子是 II，三分之一是 MM，三分之一是 OO；并且在任意一条对角线上，如果该对角线上的格子数是三的倍数，那么该对角线上也恰好三分之一是 II，三分之一是 MM，三分之一是 OO。（注意 n×nn\times n 表格两个方向共有 4n−24n-2 条对角线。）
第 3/5 步：统计两族对角线上的 II
上一步下一步
通俗地说

对角线条件表明每一族恰有 n2/9n^2/9 个字母 II。两族的交集正好是填有 II 的好格子。

∣D1∣=∣D2∣=19n2,∣D1∩D2∣=a|D_1|=|D_2|=\tfrac19n^2,\quad |D_1\cap D_2|=a
详细分析

令 D1,D2D_1,D_2 分别为两个方向上、长度为 33 的倍数的对角线上含有 II 的格子集合。每条这样的对角线都均衡，所以 ∣D1∣=∣D2∣=n2/9|D_1|=|D_2|=n^2/9。它们的交集正好是填有 II 的好格子，故 ∣D1∩D2∣=a|D_1\cap D_2|=a。因此 ∣D1∪D2∣=2n2/9−a|D_1\cup D_2|=2n^2/9-a，恰属于一族的含 II 格子数为 2n2/9−2a2n^2/9-2a。