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第2题

求所有整数 nn，使得 n×nn\times n 表格的每个格子可以填入字母 II、MM、OO 之一，满足：在每一行和每一列中，恰好三分之一的格子是 II，三分之一是 MM，三分之一是 OO；并且在任意一条对角线上，如果该对角线上的格子数是三的倍数，那么该对角线上也恰好三分之一是 II，三分之一是 MM，三分之一是 OO。（注意 n×nn\times n 表格两个方向共有 4n−24n-2 条对角线。）
第 4/5 步：按行列统计其余含 II 格子
上一步下一步
通俗地说

索引模 33 为 22 的行列给出补充计数；它们的交集仍是填有 II 的好格子。

∣C∪R∣=29n2−a,∣I∣=49n2−3a|C\cup R|=\tfrac29n^2-a,\quad |I|=\tfrac49n^2-3a
详细分析

令 CC 为索引为 3s+23s+2 的列中含 II 的格子，RR 为索引为 3r+23r+2 的行中含 II 的格子。每个选中的列、行都是均衡的，所以 ∣C∣=∣R∣=n2/9|C|=|R|=n^2/9，交集是 aa 个好格子。故 ∣C∪R∣=2n2/9−a|C\cup R|=2n^2/9-a。恰属于一族对角线的部分有 2n2/9−2a2n^2/9-2a 个格子，而行列并集有 2n2/9−a2n^2/9-a 个，所以含 II 格子的总数是 4n2/9−3a4n^2/9-3a。 II