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第2题

求所有整数 nn，使得 n×nn\times n 表格的每个格子可以填入字母 II、MM、OO 之一，满足：在每一行和每一列中，恰好三分之一的格子是 II，三分之一是 MM，三分之一是 OO；并且在任意一条对角线上，如果该对角线上的格子数是三的倍数，那么该对角线上也恰好三分之一是 II，三分之一是 MM，三分之一是 OO。（注意 n×nn\times n 表格两个方向共有 4n−24n-2 条对角线。）
第 5/5 步：得出 9∣n9\mid n
上一步下一步
通俗地说

全表格中字母 II 的总数与双重计数相等，只有当 n2/9n^2/9 被 33 整除时才可能。

13n2=49n2−3a⇒9∣n\tfrac13n^2=\tfrac49n^2-3a\quad\Rightarrow\quad 9\mid n
详细分析

由行条件知含 II 的格子恰有 n2/3n^2/3 个。将其与第3、4步的计数相等置，得 n2/3=4n2/9−3an^2/3=4n^2/9-3a，即 3a=n2/93a=n^2/9。于是 3∣n2/93\mid n^2/9，结合 3∣n3\mid n，这等价于 9∣n9\mid n。再结合显式周期图块，答案恰为正的 99 的倍数。