第3题

只需对 $n=p^e$（$p$ 为奇素数，$e\ge1$）证明该命题即可（一般奇数 $n$ 的情形随之得出，因为 $2S$ 被 $n$ 的每个素数幂因子整除组合起来即得被 $n$ 整除）。对 $k=3$（边长为 $a,b,c$ 的三角形），海伦公式的对称形式给出 $S=\tfrac14\sqrt{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4}$，因此 $16S^2=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4$。若 $p^e\mid\gcd(a^2,b^2,c^2)$，则 $p^e$ 整除每个 $a^2,b^2,c^2$，从而 $p^{2e}$ 整除右边的每一项，故 $p^{2e}\mid16S^2$；又因 $p$ 是奇数，除去不贡献任何奇素数的因子 $16=2^4$ 外，可得 $p^{2e}\mid S^2$，从而 $p^e\mid 2S$。