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第3题

设 P=A1A2⋯AkP=A_1A_2\cdots A_k 是平面上的一个凸多边形，其顶点 A1,A2,…,AkA_1,A_2,\dots,A_k 均为整点且共圆。设 SS 为 PP 的面积。已知一个正奇数 nn，使得 PP 每条边长的平方都是能被 nn 整除的整数。证明 2S2S 是能被 nn 整除的整数。
第 2/5 步：反演形式的广义托勒密关系式
上一步下一步
通俗地说

以多边形自身的一个顶点为中心作反演，会把这个圆内接多边形变成一组共线的像点，而原圆上的托勒密不等式则变成反演距离之间的一个精确的线性关系式。

A1A2OA1⋅OA2+A2A3OA2⋅OA3+⋯+AkA1OAk⋅OA1=2⋅A1A2⋯Ai^⋯⋯\frac{A_1A_2}{OA_1\cdot OA_2}+\frac{A_2A_3}{OA_2\cdot OA_3}+\dots+\frac{A_kA_1}{OA_k\cdot OA_1}=2\cdot\frac{A_1A_2\cdots\widehat{A_i}\cdots}{\cdots}
详细分析

反证法：假设命题对某个 (k+1)(k+1) 边形 A1⋯Ak+1A_1\cdots A_{k+1}（各边长的平方均被 pep^e 整除）不成立，且在所有反例中 kk 最小，于是每条对角线在同样的平方意义下都不被 pep^e 整除（否则某条对角线会把该多边形分成两个更小的圆内接多边形，其相关的所有平方长度都被 pep^e 整除，从而可对更小的 kk 应用归纳假设）。记 O=Ak+1O=A_{k+1}，以 OO 为中心、半径为 11 对平面作反演。由于反演把经过各 AiA_i 的外接圆变成一条直线，A1,…,AkA_1,\dots,A_k 的像点变为共线，而恒等式 A1A2OA1⋅OA2+A2A3OA2⋅OA3+⋯+Ak−1AkOAk−1⋅OAk=A1AkOA1⋅OAk\frac{A_1A_2}{OA_1\cdot OA_2}+\frac{A_2A_3}{OA_2\cdot OA_3}+\dots+\frac{A_{k-1}A_k}{OA_{k-1}\cdot OA_k}=\frac{A_1A_k}{OA_1\cdot OA_k}（沿该直线上反演距离线段的裂项求和）正是反演点的一个广义托勒密关系式。