第4题

如果一个正整数集合至少包含两个元素，且其中每个元素都与其他至少一个元素有公共素因数，就称这个集合是芳香的。设

P(n)=n^2+n+1

。求最小的正整数

b

，使得存在非负整数

a

，使集合

\{P(a+1),P(a+2),\dots,P(a+b)\}

是芳香的。

第 4/5 步：用中国剩余定理构造

b=6

上一步下一步

通俗地说

选取 $a$ ，使 $\{a+1,\dots,a+6\}$ 中三对特定的数各自满足所需的余数，恰好实现一次间隔- $2$ 、一次间隔- $3$ 、一次间隔- $4$ 的巧合，这一次足以用一种有效的配对覆盖全部六个顶点。

a{+}1\equiv7,\ a{+}5\equiv11\!\!\pmod{19};\quad a{+}2\equiv2,\ a{+}4\equiv4\!\!\pmod7;\quad a{+}3\equiv1,\ a{+}6\equiv1\!\!\pmod3

详细分析

由中国剩余定理，选取 $a$ （对两两互素的模 $3,7,19$ 应用中国剩余定理，这样的a有无穷多个），使得同时满足 $a+1\equiv7\pmod{19}$ 且 $a+5\equiv11\pmod{19}$ （使 $19\mid\gcd(P(a+1),P(a+5))$ ，构成一个间隔- $4$ 的对）， $a+2\equiv2\pmod7$ 且 $a+4\equiv4\pmod7$ （使 $7\mid\gcd(P(a+2),P(a+4))$ ，构成一个间隔- $2$ 的对），以及 $a+3\equiv1\pmod3$ 且 $a+6\equiv1\pmod3$ （使 $3\mid\gcd(P(a+3),P(a+6))$ ，构成一个间隔- $3$ 的对）。