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第4题

如果一个正整数集合至少包含两个元素，且其中每个元素都与其他至少一个元素有公共素因数，就称这个集合是芳香的。设 P(n)=n2+n+1P(n)=n^2+n+1。求最小的正整数 bb，使得存在非负整数 aa，使集合 {P(a+1),P(a+2),…,P(a+b)}\{P(a+1),P(a+2),\dots,P(a+b)\} 是芳香的。
第 5/5 步：所有顶点都被覆盖，因此 b=6b=6 可行且是最优的
上一步下一步
通俗地说

由中国剩余定理得到的三对恰好把六个指标划分成三对匹配，因此六个值中的每一个都有一个共享素因数的伙伴。

b=6 is the smallest value for which a fragrant set {P(a+1),…,P(a+b)} existsb=6\ \text{is the smallest value for which a fragrant set }\{P(a{+}1),\dots,P(a{+}b)\}\text{ exists}
详细分析

取前一步所选的 aa，三对 {a+1,a+5}\{a+1,a+5\}（共享因子 1919）、{a+2,a+4}\{a+2,a+4\}（共享因子 77）、{a+3,a+6}\{a+3,a+6\}（共享因子 33）恰好把全部六个指标 a+1,…,a+6a+1,\dots,a+6 划分成匹配的对，因此 {P(a+1),…,P(a+6)}\{P(a+1),\dots,P(a+6)\} 中每个元素都与至少一个其他元素共享素因数：该集合是芳香的。结合第三步证明的 b≤5b\le5 不可能，bb 的最小可能值为 66。