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第5题

黑板上写有方程 (x−1)(x−2)⋯(x−2016)=(x−1)(x−2)⋯(x−2016)(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)，两边各有 20162016 个一次因子。求最小的 kk，使得可以恰好擦去这 40324032 个一次因子中的 kk 个，令两边各至少保留一个因子，且所得方程没有实数解。
第 2/6 步：恰好擦去 20162016 个因子的候选方案
上一步下一步
通俗地说

把指标 1,…,20161,\dots,2016 分成 504504 个每组 44 个的区块，两边各保留相反的余数，问题就归结为证明一个具体方程没有实数根。

∏j=0503(x−4j−1)(x−4j−4)=∏j=0503(x−4j−2)(x−4j−3)\prod_{j=0}^{503}(x-4j-1)(x-4j-4)=\prod_{j=0}^{503}(x-4j-2)(x-4j-3)
详细分析

从左边擦去所有满足 k≡2,3(mod4)k\equiv2,3\pmod4 的因子 (x−k)(x-k)，从右边擦去所有满足 m≡0,1(mod4)m\equiv0,1\pmod4 的因子 (x−m)(x-m)。这样恰好擦去 2⋅504+2⋅504=20162\cdot504+2\cdot504=2016 个因子。把 20162016 个指标写成 j=0,…,503j=0,\dots,503 对应的 504504 个区块 {4j+1,4j+2,4j+3,4j+4}\{4j+1,4j+2,4j+3,4j+4\}，剩下的方程恰为 ∏j=0503(x−4j−1)(x−4j−4)=∏j=0503(x−4j−2)(x−4j−3)\prod_{j=0}^{503}(x-4j-1)(x-4j-4)=\prod_{j=0}^{503}(x-4j-2)(x-4j-3)。剩下要证明这个方程没有实数解。