MathLabs

第5题

黑板上写有方程 (x−1)(x−2)⋯(x−2016)=(x−1)(x−2)⋯(x−2016)(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)，两边各有 20162016 个一次因子。求最小的 kk，使得可以恰好擦去这 40324032 个一次因子中的 kk 个，令两边各至少保留一个因子，且所得方程没有实数解。
第 5/6 步：情形四：严格位于某区块中间两部分之间
上一步下一步
通俗地说

把两端的两个因子单独分离出来，把其余部分改写成每一项都严格大于 11，就能看出整个表达式必须大于 11。

x−1x−2⋅x−2016x−2015⋅∏j=1503(1+2(x−4j+1)(x−4j−2))=1\frac{x-1}{x-2}\cdot\frac{x-2016}{x-2015}\cdot\prod_{j=1}^{503}\left(1+\frac{2}{(x-4j+1)(x-4j-2)}\right)=1
详细分析

情形四：若对某个 k∈{0,…,503}k\in\{0,\dots,503\} 有 4k+2<x<4k+34k+2<x<4k+3，将目标方程改写（再次除以右边，但这次先分离出边界区块 j=0j=0 和 j=503j=503，再将其余部分配对）为 x−1x−2⋅x−2016x−2015⋅∏j=1503(x−4j)(x−4j−1)(x−4j+1)(x−4j−2)=1\dfrac{x-1}{x-2}\cdot\dfrac{x-2016}{x-2015}\cdot\prod_{j=1}^{503}\dfrac{(x-4j)(x-4j-1)}{(x-4j+1)(x-4j-2)}=1，并注意到 (x−4j)(x−4j−1)=(x−4j+1)(x−4j−2)+2(x-4j)(x-4j-1)=(x-4j+1)(x-4j-2)+2，于是乘积中每个因子都等于 1+2(x−4j+1)(x−4j−2)1+\dfrac{2}{(x-4j+1)(x-4j-2)}。在此范围内，x−1x−2>1\dfrac{x-1}{x-2}>1 且 x−2016x−2015>1\dfrac{x-2016}{x-2015}>1（两者都是同号两数之比，且分子离零更远），乘积中每一项经直接符号验证也都 >1>1。若干个严格大于 11 的数的乘积本身严格大于 11，这与它应等于 11 相矛盾。