第6题

当 $n$ 为奇数时，写成 $n=2m+1$，令 $C_r$（$r=0,1,\dots,2m$）表示青蛙从奇数标号点 $Q_r=P_{2r+1}$ 出发的线段（$P$ 的指标按模 $2n$ 读取）；它的另一端点是 $P_{2r+1+n}$。因此放置是明确的：青蛙从所有奇数标号点 $P_1,P_3,\dots,P_{2n-1}$ 出发，$n$ 条线段各放一只，并且 $C_r$ 上的青蛙沿 $Q_r$ 到 $P_{2r+1+n}$ 的方向前进。固定 $C_0$。当 $r=1,\dots,m$ 时，$C_r$ 的端点 $P_{1+2r}$ 位于从 $P_1$ 到 $P_{1+n}$ 的开圆弧上；当 $r=m+1,\dots,2m$ 时，$C_r$ 位于该圆弧上的端点是其对径点 $P_{1+2r+n}$，它相对于 $P_1$ 的指标为 $2r-n$。因为 $n=2m+1$，这些相对指标分别为 $2,4,\dots,2m$ 和 $1,3,\dots,2m-1$，所以按圆弧顺序恰好是全部整数 $1,2,\dots,n-1$。因此，若 $C_r$ 与 $C_0$ 相交，从 $C_0$ 上的青蛙开始数，该交点的次序为：当 $r=1,\dots,m$ 时 $\rho_0(r)=2r$，当 $r=m+1,\dots,2m$ 时 $\rho_0(r)=2r-n$。将同一论证旋转到任意一对 $C_a,C_b$，并把它们起点指标的循环差记为 $r$，则从两只青蛙分别数起，该交点的两个次序是 $\rho_0(r)$ 和 $\rho_r(0)=n-\rho_0(r)$：第二只青蛙看到的交点顺序正好相反。这就是不变量/奇偶计数：每一对的两个次序都是 $1,\dots,n-1$ 中的正整数，且和为 $n$，所以由于 $n$ 为奇数它们不可能相等（若相等则有 $2\rho_0(r)=n$）。第 $k$ 次拍手后（$1\le k\le n-1$），青蛙位于其前进方向上第 $k$ 个交点；所以两只青蛙只有在这两个次序相等时才会相撞，而这一点刚刚已经排除。因此，这个明确的奇数点放置方式避免了所有碰撞。