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未解决问题，算术与数论，1985年提出

abc猜想

未解决

设 aa、bb、cc 为互素的正整数且 a+b=ca+b=c,则对任意 ε>0\varepsilon > 0,只有有限多个这样的三元组满足 c>rad⁡(abc)1+ε,c > \operatorname{rad}(abc)^{1+\varepsilon}, 其中 rad⁡(n)\operatorname{rad}(n) 表示整除 nn 的不同素数之积。

研究前沿 截至2026年

截至2026年,主流数学界仍将abc猜想视为未解决问题。望月声称的IUT证明已于2021年发表于PRIMS,但舒尔茨和斯蒂克斯2018年指出的、位于推论3.12附近的缺口尚未得到更广泛学界认可的解决,而诸如利用Lean证明助手的LANA项目等形式化验证尝试,迄今也未能确认那一有争议的步骤。除了以京都为中心的一小部分人外,几乎没有数论学家认为该猜想已被证明。

已知最佳结果

  • 无条件的有效界(斯图尔特-余,2001年)将 cc 与 rad⁡(abc)\operatorname{rad}(abc) 联系起来,但仍远弱于猜想所预测的多项式型界。
  • 其多项式类比——梅森-斯托瑟斯定理——已被无条件证明,为该猜想对整数所作论断提供了范式。
  • 望月的宇宙际泰希米勒理论声称给出了完整证明(预印本始于2012年,2021年发表于PRIMS),但舒尔茨和斯蒂克斯2018年的报告指出了一个尚未解决的缺口,该证明声明尚未被京都以外的大多数数论学家接受。

使用的方法及其局限

方法取得的结果局限所在
初等与解析有效界(斯图尔特-泰德曼,斯图尔特-余)给出将 cc 与 rad⁡(abc)\operatorname{rad}(abc) 联系起来的无条件但弱得多的界与猜想所预测的多项式型界之间仍存在指数级差距
宇宙际泰希米勒理论(望月)声称给出完整证明,已发表于PRIMS(2021年)舒尔茨-斯蒂克斯(2018年)指出的推论3.12附近的缺口仍未解决;该主张未被该领域大多数学者接受,形式化验证尝试(LANA项目)也未能确认这一步骤

尚未解决的问题

  • abc猜想是否成立?
  • 望月的IUT论证能否被修正、被推翻,或被形式化验证——若都不能,一个被广泛接受的证明或反例应当是什么样子?

参考文献

  1. Joseph Oesterlé (1988). Nouvelles approches du "théorème" de Fermat
  2. Peter Scholze, Jakob Stix (2018). Why abc is still a conjecture
  3. Shinichi Mochizuki (2021). Inter-universal Teichmüller theory IV: Log-volume computations and set-theoretic foundations