未解决问题，算术与数论, 代数学，1927年提出

阿廷原根猜想

未解决

任意既非 $-1$ 也非完全平方数的整数 $a$ ,都是无穷多个素数 $p$ 的模 $p$ 原根;且当 $a$ 不是完全幂、其无平方因子部分又不同余于 $1 \pmod{4}$ 时,这类素数在全体素数中的渐近密度为 $C_{\mathrm{Artin}} = \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p(p-1)}\right) \approx 0.3739558136$ 。

研究前沿截至2026年

截至2026年,阿廷原根猜想在无条件意义下仍未解决:没有任何一个具体整数 $a$ (如 $a=2$ 或 $a=10$ )被证明使得 $a$ 成为无穷多个素数的原根。在库默尔域 $\mathbb{Q}(\zeta_q, a^{1/q})$ 满足广义黎曼猜想的条件下,胡利1967年的定理给出了完整的渐近公式。无条件方面,将原根的乘法结构与陈氏型线性筛法及邦别里–维诺格拉多夫型分布估计相结合,可证明使猜想失效的例外素数底集合至多含 $2$ 个元素(希思-布朗,1986年),且在任意三个乘法独立的整数(满足温和的符号与平方条件)中,至少有一个能成为无穷多个素数的原根。

已知最佳结果

在广义黎曼猜想成立的条件下,对每个非平方整数 $a \ne -1$ ,阿廷猜想及其精确渐近密度均成立(胡利,1967年)。
无条件地,至多存在两个素数 $q$ 使阿廷猜想失效;因此 $2$ 、 $3$ 、 $5$ 中至少有一个是无穷多个素数的原根(希思-布朗,1986年)。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
库默尔扩张中的切博塔廖夫密度定理	通过 $p$ 在 $\mathbb{Q}(\zeta_q, a^{1/q})$ 中的分裂性质来刻画使 $\langle a \rangle$ 的指数被 $q$ 整除的素数 $p$ ,从而在广义黎曼猜想下给出精确的条件密度。	当扩张次数 $[\mathbb{Q}(\zeta_q, a^{1/q}):\mathbb{Q}] \approx q(q-1)$ 随 $x$ 增长时,切博塔廖夫密度定理中的无条件误差项过弱。
线性筛法与乘法相关性论证(古普塔–穆尔蒂、希思-布朗)	构造使 $p-1$ 仅含有界多个素因子(如 $p-1 = 2q$ 或 $2q_1 q_2$ )的素数 $p$ ,将可能的素数反例个数限制在至多 $2$ 个。	具有非构造性:特征和估计需要对多个独立生成元取平均,因此无法确定任何一个单独整数 $a$ 的情形。

尚未解决的问题

能否无条件地证明 $2$ (或 $10$ )是无穷多个素数的原根?
能否将可能例外的素数底集合的大小无条件地从 $2$ 降至 $1$ 或 $0$ ?

参考文献

Christopher Hooley (1967). On Artin's conjecture · DOI:10.1515/crll.1967.225.209
D. R. Heath-Brown (1986). Artin's Conjecture for Primitive Roots · DOI:10.1093/qmath/37.1.27
M. Ram Murty (1988). Artin's conjecture on primitive roots: an update · DOI:10.1007/BF03023749