未解决问题，算术与数论，1993年提出

比尔猜想

未解决

若 $A^x + B^y = C^z$ ,其中 $A, B, C, x, y, z$ 为满足 $x, y, z > 2$ 的正整数,则 $A, B,$ 与 $C$ 必有公共素因子。

研究前沿截至2026年

截至2026年,比尔猜想仍未解决,AMS设立的 USD $1{,}000{,}000$ 奖金也无人认领。通过将怀尔斯的模性方法(弗雷曲线与里贝特降水平定理)与沙博蒂–科尔曼 $p$ -进积分及超椭圆曲线技术相结合,数学家已证明对许多无穷族指数三元组 $(x, y, z)$ (包括 $(p, p, 2)$ 、 $(p, p, 3)$ 以及(除去已知卡塔兰解 $1^n + 2^3 = 3^2$ 后)多个 $n$ 范围内的 $(2, 3, n)$ )不存在互素解。然而,同时处理三个独立变化的指数 $(x, y, z)$ 仍超出了现有弗雷曲线构造的能力。

已知最佳结果

达蒙与格兰维尔(1995年):对任意满足 $1/x + 1/y + 1/z < 1$ 的固定三元组 $(x, y, z)$ ,方程 $A^x + B^y = C^z$ 仅有有限个互素整数解。
模方法与沙博蒂方法完全解决了许多指数族,例如素数 $p \ge 3$ 时的 $(p, p, 2)$ 与 $(p, p, 3)$ ,以及 $(3, 3, n)$ 和 $(4, 4, n)$ 。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
模性与弗雷–埃莱瓜尔什曲线	证明了费马大定理( $x = y = z \ge 3$ ),并排除了 $(p, p, 2)$ 与 $(p, p, 3)$ 等族的互素解	当三个指数 $x, y, z$ 独立变化时,尚不知道如何在 $\mathbb{Q}$ 上构造适用于所有三元组的弗雷曲线
通过分歧覆盖应用法尔廷斯定理(达蒙–格兰维尔)	对每个满足 $1/x + 1/y + 1/z < 1$ 的固定指数三元组 $(x, y, z)$ 证明了互素解的有限性	法尔廷斯定理是非有效的,且每次只能针对单个三元组 $(x, y, z)$ ,无法对所有指数一致适用

尚未解决的问题

在 $x, y, z \ge 3$ 时,方程 $A^x + B^y = C^z$ 是否存在互素整数解?
全实域上的弗雷表示或超几何动机能否处理三个独立的素指数 $(p, q, r)$ ?

参考文献

R. Daniel Mauldin (1997). A generalization of Fermat's Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem
Henri Darmon, Andrew Granville (1995). On the equations z^m = F(x, y) and Ax^p + By^q = Cz^r · DOI:10.1112/blms/27.6.513
Henri Cohen (2007). Number Theory, Volume II: Analytic and Modern Tools · DOI:10.1007/978-0-387-49894-2