未解决问题，算术与数论，1876年提出

布罗卡尔问题

未解决

丢番图方程 $n! + 1 = m^2$ 除 $(4, 5)$ 、 $(5, 11)$ 和 $(7, 71)$ 之外,是否还存在其他整数解 $(n, m)$ ?

研究前沿截至2026年

截至2026年,布罗卡尔问题仍未解决:甚至在无条件意义下尚不清楚 $n! + 1 = m^2$ 的解是否有限。在 $abc$ 猜想下,奥弗霍尔特1993年的论证可以很容易地给出 $n$ 的上界,因为根基 $\mathrm{rad}(n!(m-1)(m+1))$ 至多为 $m \prod_{p \le n} p \approx m e^{(1+o(1))n}$ ,远小于 $m^2 = n! + 1 \approx (n/e)^n$ 。在计算方面,二次剩余筛法已排除了 $7 < n \le 10^{15}$ 范围内的任何解,使人们几乎确信 $(4,5)$ 、 $(5,11)$ 与 $(7,71)$ 是仅有的布朗数。

已知最佳结果

奥弗霍尔特(1993年):在假定 $abc$ 猜想成立下,方程 $n! + 1 = m^2$ 仅有有限个整数解。
伯恩特与戈尔韦(2000年)及后续计算:在 $7 < n \le 10^{15}$ 范围内不存在解。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
通过 $abc$ 猜想进行根基估计(奥弗霍尔特–多姆布罗夫斯基–卢卡)	利用 $n!$ 高度光滑的素幂分解性质,条件性地证明了 $n! + 1 = m^2$ 与 $n! = P(x)$ 解的有限性	依赖于尚未证明的 $abc$ 猜想;由 $p$ -进对数线性型给出的无条件界太弱,无法克制 $n!$ 的增长
二次剩余模筛法	对辅助素数 $p > n$ 检验满足 $-1 \equiv n! \pmod{p}$ 等情形下的二次剩余条件,从而排除 $7 < n \le 10^{15}$	只能验证 $n$ 的有限范围,无法排除所有整数上的解

尚未解决的问题

能否无条件证明 $n! + 1 = m^2$ 只有有限个解?
$(4, 5)$ 、 $(5, 11)$ 和 $(7, 71)$ 是否是仅有的布朗数?

参考文献

Marius Overholt (1993). The factorial equation n! + 1 = m^2 · DOI:10.1112/blms/25.2.104
Andrzej Dąbrowski (1996). On the Diophantine equation x! + A = y^2
Bruce C. Berndt, William F. Galway (2000). On the Brocard–Ramanujan Diophantine equation n! + 1 = m^2 · DOI:10.1023/A:1009873805276