未解决问题，代数学，1902年提出

伯恩赛德问题

部分解决

若 $G$ 是每个元皆为有限阶的有限生成群（一般伯恩赛德问题），或对某个固定整数 $n \ge 1$ 满足每个元 $g \in G$ 都有 $g^n = 1$ （关于自由伯恩赛德群 $B(m, n)$ 的有界伯恩赛德问题）， $G$ 是否必定为有限群？在受限伯恩赛德问题中，是否存在由 $m$ 个元生成且指数为 $n$ 的最大有限群？

研究前沿截至2026年

截至2026年，虽然一般伯恩赛德问题（假）与受限伯恩赛德问题（真）已完全解决，但有界伯恩赛德问题在中等大小指数下仍悬而未决。具体而言，对 $m \ge 2$ ，目前仅知 $B(m, n)$ 在 $n \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$ 时有限，而指数为 $5$ 的 $2$ 生成元群 $B(2, 5)$ （或指数为 $8$ 的 $B(2, 8)$ ）究竟有限还是无限，仍是著名的开放问题。

已知最佳结果

受限伯恩赛德问题对所有 $m$ 与 $n$ 成立：由 $m$ 个元生成且指数为 $n$ 的任意有限群，其阶均受某个函数 $f(m, n)$ 所界定（素数 $n$ 由科斯特里金于1958年证明，素数幂 $n$ 由泽尔马诺夫于1990–1991年证明，一般 $n$ 由1956年霍尔–希格曼归约得出）。对于 $B(2, 5)$ ，其最大有限商群 $R(2, 5)$ 的阶为 $5^{34}$ （哈瓦斯、纽曼与沃恩-李，1990年）。
自由伯恩赛德群 $B(m, n)$ （ $m \ge 2$ ）在 $n \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$ 时有限，而在所有奇指数 $n \ge 665$ （诺维科夫–阿迪安，1968年；阿迪安，1975年）及充分大的偶指数（伊万诺夫，1994年；雷先诺克，1996年）时无限。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
分次李代数与约当代数恒等式	通过将群换位子转化为李代数中的类恩格尔恒等式，界定了指数为 $p^k$ 的有限 $p$ -群的幂零类，从而彻底解决了受限伯恩赛德问题	仅适用于残余有限部分（有限商群），无法排除 $B(2, 5)$ 内部存在无限单商群或非残余有限商群的可能性
诺维科夫–阿迪安归纳字分析与几何小消去理论（范坎彭图）	跨归纳层级控制周期字，证明了充分大的奇指数与偶指数下 $B(m, n)$ 的无限性	当指数 $n$ 较小时（如 $n = 5, 7, 8$ ），重叠的周期关系相互作用过于紧密，导致小消去曲率估计失效

尚未解决的问题

秩为 $2$ 、指数为 $5$ 的自由伯恩赛德群 $B(2, 5)$ 是有限群（阶为 $5^{34}$ ）还是无限群？
使得 $B(2, n)$ 为无限群的最小指数 $n$ 是多少？

参考文献

Sergei I. Adian (1979). The Burnside Problem and Identities in Groups
Efim I. Zelmanov (1990). Solution of the restricted Burnside problem for groups of odd exponent · DOI:10.1070/IM1991v036n01ABEH001946
Efim I. Zelmanov (1991). Solution of the restricted Burnside problem for 2-groups · DOI:10.1070/SM1992v072n02ABEH001272
Sergei V. Ivanov (1994). The free Burnside groups of sufficiently large exponents · DOI:10.1142/S0218196794000026