未解决问题，算术与数论, 微分方程与动力系统，1937年提出

科拉兹猜想

未解决

设 $f(n) = n/2$ ( $n$ 为偶数时), $f(n) = 3n+1$ ( $n$ 为奇数时)。猜想断言:对任意正整数 $n$ ,反复应用 $f$ 最终都会到达 $1$ 。

提出者, 1937洛塔尔·科拉茨

研究前沿截至2026年

截至2026年,该猜想仍未解决。陶哲轩2019年的结果表明,在精确的密度意义下,几乎所有轨道都会变小,但并未排除存在一个对数密度为零的例外初始值集合,它们可能发散到无穷大,或落入除 $4\to2\to1$ 之外尚未发现的循环。穷举式计算机搜索已验证该猜想对所有低于约 $2^{71}$ 的起始值成立,未发现反例或新循环。

已知最佳结果

陶(2019年):按对数密度而言,几乎所有轨道都会达到低于任何趋于无穷的函数(例如 $\log\log\log n$ )的值。
穷举式计算机验证已确认该猜想对所有低于约 $2^{71}$ 的起始值成立,未发现反例。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
叙拉古映射的概率/遍历模型	以精确的密度为1的意义表明几乎所有轨道都会变小(陶,2019年)	无法排除对数密度为零的例外轨道发散或落入未知循环的可能性
穷举式计算机搜索	确认约 $2^{71}$ 以下不存在反例	由于 $\mathbb{N}$ 是无限的,无法对所有整数进行证明

尚未解决的问题

是否真的每条轨道都能到达1,完全没有例外——而不仅仅是密度为1?
除了 $4\to2\to1$ 之外,是否存在其他循环,或存在发散的轨道?

参考文献

Terence Tao (2022). Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values · arXiv:1909.03562
Jeffrey C. Lagarias (ed.) (2010). The 3x+1 problem: An overview, in The Ultimate Challenge: The 3x+1 Problem
Jeffrey C. Lagarias (1985). The 3x+1 problem and its generalizations