未解决问题，算术与数论, 概率与统计，1936年提出

关于素数间隔的克拉梅尔猜想

未解决

设 $p_n$ 表示第 $n$ 个素数且 $g_n = p_{n+1} - p_n$ ,则当 $n \to \infty$ 时有 $g_n = O\!\left((\log p_n)^2\right)$ ;在克拉梅尔原始的更强形式下,有 $\limsup_{n \to \infty} \frac{p_{n+1} - p_n}{(\log p_n)^2} = 1$ 。

研究前沿截至2026年

截至2026年,最大素数间隔的已知上下界与克拉梅尔的 $(\log p_n)^2$ 预测之间仍横亘着巨大鸿沟。无条件意义下,对所有素数间隔的最佳上界是 $g_n \ll p_n^{0.525}$ (贝克–哈曼–平茨,2001年),而2024年古斯–梅纳德的零点密度估计则在短区间 $[x, x+x^{17/30+\varepsilon}]$ 上确立了渐近素数定理。即便假定黎曼猜想成立,已知最佳上界也仅为 $g_n = O(\sqrt{p_n}\log p_n)$ ,仍是 $p_n$ 的幂次而非对数的多项式。反方向上,对无穷多个间隔成立的最佳无条件下界为 $g_n \gg \frac{\log p_n \log\log p_n \log\log\log\log p_n}{\log\log\log p_n}$ (福特–格林–科尼亚金–梅纳德–陶哲轩,2014年),仅比 $\log p_n$ 略大。

已知最佳结果

无条件上界:对所有足够大的 $n$ ,有 $p_{n+1} - p_n \ll p_n^{0.525}$ (贝克、哈曼与平茨,2001年)。
条件上界:在黎曼猜想下有 $p_{n+1} - p_n = O(\sqrt{p_n}\log p_n)$ (克拉梅尔,1920年)。
无条件下界: $p_{n+1} - p_n \gg \frac{\log p_n \log\log p_n \log\log\log\log p_n}{\log\log\log p_n}$ 无穷多次成立(福特、格林、科尼亚金、梅纳德与陶哲轩,2014年)。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
$\zeta(s)$ 的零点密度估计与哈曼筛法	控制短区间 $[x, x+x^{\theta}]$ 内的素数分布,将无条件指数降至 $\theta = 0.525$ 。	由于显式公式需要对临界线 $\mathrm{Re}(s)=1/2$ 上的零点求和,即便完全假定黎曼猜想也只能达到 $\theta = 1/2 + \varepsilon$ 。
结合梅纳德–陶哲轩素数元组权重的兰金筛除法	通过选取模不超过 $z$ 的素数的同余类构造出长串连续合数区间,打破了埃尔德什长期悬赏的兰金下界壁垒。	由素数定理,小于 $z \approx \log x$ 的素数乘积不能超过 $x$ ,这使得雅各布斯塔尔函数构造被限制在 $(\log x)(\log\log x)^{O(1)}$ 量级,远未达到 $(\log x)^2$ 。

尚未解决的问题

即便假定黎曼猜想和蒙哥马利对关联猜想成立,能否对某个指数 $\theta < 1/2$ 证明 $p_{n+1} - p_n \ll p_n^{\theta}$ ?
$\limsup_{n\to\infty} (p_{n+1}-p_n)/(\log p_n)^2$ 的真实究竟等于 $1$ (克拉梅尔)、 $2e^{-\gamma} \approx 1.1229$ (格兰维尔),还是更大?

参考文献

Harald Cramér (1936). On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers · DOI:10.4064/aa-2-1-23-46
Andrew Granville (1995). Harald Cramér and the distribution of prime numbers · DOI:10.1080/03461238.1995.10413946
Roger C. Baker, Glyn Harman, János Pintz (2001). The difference between consecutive primes, II · DOI:10.1112/plms/83.3.532
Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin, James Maynard, Terence Tao (2018). Long gaps between primes · DOI:10.1090/jams/890 · arXiv:1412.5029