未解决问题，算术与数论, 分析学，1849年提出

狄利克雷除数问题

未解决

设 $d(n)$ 为 $n$ 的正因子个数,并记 $D(x) = \sum_{n \le x} d(n) = x\log x + (2\gamma - 1)x + \Delta(x)$ ,其中 $\gamma$ 为欧拉–马斯刻若尼常数。求使得对任意 $\varepsilon > 0$ ,当 $x \to \infty$ 时均有 $\Delta(x) = O(x^{\theta+\varepsilon})$ 成立的指数下确界 $\theta$ ;人们猜想 $\theta = \tfrac{1}{4}$ 。

研究前沿截至2026年

截至2026年,狄利克雷除数问题仍未解决,已知真实指数 $\theta$ 落在区间 $[\tfrac{1}{4}, \tfrac{131}{416}]$ 内(在变量代换 $x = r^2$ 下恰好是高斯圆问题指数范围的一半)。经同行评审发表的最佳上界是马丁·赫胥黎2003年证明的 $\theta \le \tfrac{131}{416} \approx 0.31490$ (此外布尔甘与瓦特在预印本中探索了利用解耦理论逼近 $\tfrac{517}{1648} \approx 0.31371$ 的途径)。在平均意义下,佟秉章(1956年)与希思-布朗(1992年)确立了 $\int_1^T \Delta(x)^2\,dx \sim c T^{3/2}$ ,表明 $|\Delta(x)|$ 的均方根阶恰好为 $x^{1/4}$ ;桑达拉拉詹(2003年)则证明了振荡下界 $\Delta(x) = \Omega\!\left(x^{1/4}(\log x)^{1/4}(\log\log x)^{\frac{3}{4}(2^{4/3}-1)}(\log\log\log x)^{-5/8}\right)$ 。

已知最佳结果

已发表上界: $\Delta(x) = O\!\left(x^{131/416}(\log x)^{26947/8320}\right)$ ,即 $\theta \le \tfrac{131}{416} \approx 0.31490$ (赫胥黎,2003年)。
均方与极限分布: $\int_1^T \Delta(x)^2\,dx \sim c T^{3/2}$ ,且 $x^{-1/4}\Delta(x)$ 具有连续的非高斯极限分布(希思-布朗,1992年,1999年)。
振荡下界: $\Delta(x) = \Omega\!\left(x^{1/4}(\log x)^{1/4}(\log\log x)^{\frac{3}{4}(2^{4/3}-1)}(\log\log\log x)^{-5/8}\right)$ (桑达拉拉詹,2003年)。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
沃罗诺伊求和公式与佩龙围道积分	将 $\Delta(x)$ 表示为 $\zeta(s)^2 x^s / s$ 的围道积分,或截断贝塞尔级数 $\frac{x^{1/4}}{\pi\sqrt{2}} \sum_{n \le N} d(n) n^{-3/4} \cos(4\pi\sqrt{nx} - \tfrac{\pi}{4}) + O(x^{1/2+\varepsilon}N^{-1/2})$ 。	即便假定林德勒夫猜想( $\zeta(\tfrac{1}{2}+it) = O(t^{\varepsilon})$ )成立,若不进一步利用 $x^{it}$ 的相位抵消,仅将佩龙积分围道移至 $\mathrm{Re}(s) = \tfrac{1}{2}$ 也只能得到 $\Delta(x) = O(x^{1/2+\varepsilon})$ 。
指数对与邦别里–伊万涅茨–赫胥黎离散哈代–李特尔伍德方法	估计相位为 $\sqrt{nx}$ 的二重指数和,确立了 $\theta \le \tfrac{131}{416}$ 。	若指数对猜想 $(k, l) = (\varepsilon, \tfrac{1}{2}+\varepsilon)$ 成立则可推出 $\theta = \tfrac{1}{4}$ ,但已知的 A 过程、B 过程与解耦界距离 $(\varepsilon, \tfrac{1}{2}+\varepsilon)$ 仍十分遥远。

尚未解决的问题

对任意 $\varepsilon > 0$ , $\Delta(x) = O(x^{1/4+\varepsilon})$ 是否都成立?
在 $k \ge 3$ 的皮尔茨除数问题中,对任意 $\varepsilon > 0$ 是否都有 $\Delta_k(x) = O(x^{(k-1)/(2k)+\varepsilon})$ ?

参考文献

G. H. Hardy (1916). On Dirichlet's divisor problem · DOI:10.1112/plms/s2_15.1.1
Henryk Iwaniec, C. J. Mozzochi (1988). On the divisor problem, and the circle problem · DOI:10.1016/0022-314X(88)90025-X
Martin N. Huxley (2003). Exponential sums and lattice points III · DOI:10.1112/S0024611503014485
K. Soundararajan (2003). Omega results for the divisor and circle problems · DOI:10.1155/S1073792803130929