未解决问题，算术与数论, 分析学，1968年提出

埃利奥特–哈尔伯斯塔姆猜想

未解决

对任意 $\theta < 1$ 与任意 $A > 0$ ,算术级数素数定理中的误差项 $E(x; q) = \max_{\gcd(a,q)=1} \left| \pi(x; q, a) - \frac{\pi(x)}{\varphi(q)} \right|$ 对所有 $x > 2$ 都满足 $\sum_{1 \le q \le x^{\theta}} E(x; q) \ll_{\theta, A} \frac{x}{(\log x)^A}$ 。

研究前沿截至2026年

截至2026年,完整的埃利奥特–哈尔伯斯塔姆猜想(对每个模 $q$ 取遍所有互素同余类 $a \pmod{q}$ 的最大值)对任何 $\theta > 1/2$ 仍未解决;取完整最大值时的无条件基准依然停留在邦别里–维诺格拉多夫定理( $\theta = 1/2$ )。然而,当固定同余类 $a$ (或施加光滑权重)而非取最大值时,分布水平已大幅突破 $1/2$ :继邦别里–弗里德兰德–伊万涅茨(1986年)、张益唐(2013年)与 Polymath8a(2014年,对光滑模达到 $\theta = 1/2 + 7/300$ )之后,梅纳德(2020年)等人的工作已将固定同余类变体的分布指数推过 $3/5$ 。

已知最佳结果

在对所有 $\gcd(a,q)=1$ 取最大值的情形下,该猜想对所有 $\theta < 1/2$ 无条件成立(邦别里–维诺格拉多夫定理,1965年)。
对固定的同余类 $a \ne 0$ 及模 $q$ 上的光滑或良好可分解权重,分布水平已无条件突破 $1/2$ (邦别里–弗里德兰德–伊万涅茨 1986年;张益唐 2013年;Polymath8a 2014年;梅纳德 2020年)。
假定埃利奥特–哈尔伯斯塔姆猜想成立,有 $\liminf_{n\to\infty} (p_{n+1}-p_n) \le 12$ (梅纳德,2013年);假定广义埃利奥特–哈尔伯斯塔姆猜想成立,则有 $\liminf_{n\to\infty} (p_{n+1}-p_n) \le 6$ (Polymath8b,2014年)。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
大筛法不等式与沃恩恒等式	将素数指示函数分解为 I 型与 II 型双线性形式和,并估计其在本原狄利克雷特征上的平均,从而证明了邦别里–维诺格拉多夫定理( $\theta < 1/2$ )。	由于大筛法直接估计特征和的 $L^2$ 范数而无法利用不同同余类 $a_q$ 之间的抵消,它在 $\theta = 1/2$ 处遇到了刚性的平方根壁垒。
色散法与克洛斯特曼和估计(德利涅、德舒耶–伊万涅茨)	结合泊松求和公式与韦伊/德利涅代数几何界或自守形式谱理论,在同余类 $a$ 固定时将分布水平推过了 $\theta = 1/2$ 。	当同余类 $a_q$ 随 $q$ 任意变化时失效,因为取最大值 $\max_{\gcd(a,q)=1}$ 会破坏泊松求和所需的对 $q$ 的光滑依赖性。

尚未解决的问题

是否存在某个 $\theta > 1/2$ ,使得完整的埃利奥特–哈尔伯斯塔姆界(求和号内带有 $\max_{\gcd(a,q)=1}$ )无条件成立?
对于固定的同余类 $a \ne 0$ ,能否无条件证明素数的分布水平可达任意 $\theta < 1$ ?

参考文献

Enrico Bombieri (1965). On the large sieve and its applications · DOI:10.1112/S0025579300005313
Peter D. T. A. Elliott, Heini Halberstam (1970). A conjecture in prime number theory
Enrico Bombieri, John B. Friedlander, Henryk Iwaniec (1986). Primes in arithmetic progressions to large moduli · DOI:10.1007/BF02392590
John B. Friedlander, Andrew Granville (1989). Limitations to the equi-distribution of primes I · DOI:10.2307/1971450