未解决问题，算术与数论，1948年提出

埃尔德什–施特劳斯猜想

未解决埃尔德什

对每个整数 $n \ge 2$ ,有理数 $4/n$ 都可以表示为三个正单位分数之和:存在正整数 $x, y, z$ 使得 $\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ 。

提出者, 1948保罗·爱尔特希

研究前沿截至2026年

截至2026年,埃尔德什–施特劳斯猜想仍未解决。筛法(沃恩,1970年)表明 $n \le N$ 中的例外个数至多为 $O(N \exp(-c (\log N)^{2/3}))$ ,因此在自然密度意义下该猜想对几乎所有整数成立。模过滤方法(萨莱2014年及随后的计算扩展)已将该猜想验证到至少 $10^{17}$ 。然而,由于剩余类 $p \equiv r^2 \pmod{q}$ 无法被有限个多项式恒等式覆盖(莫德尔二次剩余障碍),完整证明需要新的解析或算术工具。

已知最佳结果

沃恩(1970年):使 $4/n = 1/x + 1/y + 1/z$ 无解的整数 $n \le N$ 的个数至多为 $O(N \exp(-c (\log N)^{2/3}))$ 。
埃尔肖茨与陶哲轩(2013年):素数 $p \le N$ 上解的平均个数介于 $c_1 \log^2 N$ 与 $c_2 \log^2 N \log \log N$ 之间。
萨莱(2014年):计算机验证确认在 $n \le 10^{17}$ 范围内不存在反例。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
模覆盖同余系与大筛法	对任意选定的模 $M$ 排除除非零平方剩余外的所有剩余类,证明例外集的密度为 $0$ ,并使验证推進至 $10^{17}$	莫德尔障碍: $1$ 对任何整数模 $M$ 都是二次剩余,因此有限个同余式组成的系统无法覆盖所有素数
仿射簇上的参数除数和分析(埃尔肖茨–陶)	建立了表示数之和 $\sum_{p \le N} f(p)$ 的精确上下界	只能控制素数 $p \le N$ 上的平均值,无法保证对每个单独的素数 $p$ 都有 $f(p) \ge 1$

尚未解决的问题

每个满足 $p \equiv 1 \pmod{24}$ 的素数是否都存在正整数表示 $4/p = 1/x + 1/y + 1/z$ ?
欣策尔的推广是否成立——即对每个固定的 $m \ge 4$ ,当 $n$ 充分大时 $m/n = 1/x + 1/y + 1/z$ 均可解?

参考文献

Christian Elsholtz, Terence Tao (2013). Counting the number of solutions to the Erdős–Straus equation on unit fractions · DOI:10.1017/S1446788713000244 · arXiv:1107.1010
L. J. Mordell (1969). Diophantine Equations
R. C. Vaughan (1970). On a problem of Erdős and Straus · DOI:10.1112/S0025579300002886
Serge E. Salez (2014). The Erdős–Straus conjecture: New modular equations and checking up to N = 10^17 · arXiv:1406.6307 [预印本,未经同行评审]