未解决问题，算术与数论, 组合数学与离散数学，1941年提出

关于加性基的埃尔德什–图兰猜想

未解决埃尔德什

设 $A \subseteq \mathbb{N}$ 是 $2$ 阶渐近加性基，即每个充分大的整数 $n \ge n_0$ 都可表示为 $n = a + b$ （其中 $a, b \in A$ ）。则表法数函数 $r_A(n) = \#\{(a, b) \in A^2 : a + b = n\}$ 不可能有上界，即 $\limsup_{n \to \infty} r_A(n) = \infty$ 。

提出者, 1941保罗·爱尔特希

研究前沿截至2026年

截至2026年，关于加性基的埃尔德什–图兰猜想即便在 $2$ 阶情形下也仍未解决。虽然对所有 $n \ge n_0$ 假设 $r_A(n) \ge 1$ 可推出（按有序对） $\limsup_{n \to \infty} r_A(n) \ge 8$ 且表法数函数最终不能为常数，但哪怕排除 $\limsup_{n \to \infty} r_A(n) \le 10$ 也依然悬而未决。目前进展主要集中在估计二阶矩 $N^{-1} \sum_{n \le N} r_A(n)^2$ 以及研究 $B_2[g]$ 集合的增长性质。

已知最佳结果

每个 $2$ 阶渐近加性基对于有序表示均满足 $\limsup_{n \to \infty} r_A(n) \ge 8$ （格雷科斯、哈达德、埃卢、皮赫科，2003）。
存在表法数函数对所有充分大的 $n$ 呈对数增长 $c_1 \log n \le r_A(n) \le c_2 \log n$ 的 $2$ 阶渐近基（埃尔德什，1956）。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
生成函数与圆法帕塞瓦尔界	将单位圆上的生成级数 $f(z) = \sum_{a \in A} z^a$ 与 $r_A(n)$ 的均值联系起来，排除了最终恒为常数的表法数函数。	$L^2$ 傅里叶平均本身无法排除振荡相消，不足以直接迫使 $f(z)^2$ 的系数在 $L^\infty$ 范数下发散。
随机稀疏基的概率方法	通过以概率 $c \sqrt{\log x / x}$ 独立选取每个整数 $x$ ，构造出满足 $r_A(n) = \Theta(\log n)$ 的渐近基。	由博雷尔–坎泰利引理，独立随机选取必须包含 $\sqrt{\log x}$ 因子才能避免出现未覆盖的间隙，因此随机方法无法给出 $r_A(n) = O(1)$ 的构造。

尚未解决的问题

是否每个 $2$ 阶渐近加性基都满足 $\limsup_{n \to \infty} r_A(n) = \infty$ ？
$2$ 阶渐近加性基在 $n \to \infty$ 时能否满足 $r_A(n) = o(\log n)$ ？

参考文献

Paul Erdős, Pál Turán (1941). On a problem of Sidon in additive number theory, and on some related problems · DOI:10.1112/jlms/s1-16.4.212
Georges Grekos, Labib Haddad, Charles Helou, Jukka Pihko (2003). On the Erdős–Turán conjecture · DOI:10.1016/S0022-314X(03)00099-4