解法：阿佩尔–哈肯利用计算机验证可约性的放电法证明(1976年)

将每张地图表示为平面图 $G$(每个区域一个顶点,相邻区域间连边);要证明的断言变为 $\chi(G) \le 4$,其中 $\chi(G)$ 是色数,即使任意一条边都不连接两个同色顶点所需的最少颜色数。

按照阿尔弗雷德·肯普(Alfred Kempe,1879年)开创、珀西·希伍德(Percy Heawood,1890年)加以修正的策略,用反证法假设存在反例——某个需要 $5$ 种颜色的平面图——并在所有反例中挑出一个极小反例 $G$:顶点数最少、且满足 $\chi(G) \ge 5$ 的平面图。这样 $G$ 的每个真子图都更小,因而都满足 $\chi \le 4$。

这个极小反例正是此后每一步研究的对象。只要能证明这样的图 $G$ 根本不可能存在,四色定理便立即成立。